[COMPT 0x02] 非确定性/封闭性/正则表达式→FA

本节课的主题：

• 非确定性
• 封闭性
• 正则表达式→FA

NFA

上一次课讲到 DFA 并不足以证明拼接和星运算下的封闭性，这一节课，我们将引入非确定有限状态自动机（Nondeterministic Finite Automata, NFA）来解决这一问题。

DFA 的每一步转移都是当前状态遇到一个输入字符然后去到一个唯一确定的后继状态；而 NFA 不一样，在 NFA 中，一个状态在读入同一个字符时，可转移的后继状态可能存在多个，甚至还允许出现 $\epsilon$-转移（$\epsilon$-transition）——即在不输入任何字符的情况下转移到下一个状态。

对于上述关于 NFA 的描述，我们可以想象到，输入同一个字符串，对应的转移路径也可能是多样的，也许有些路径能到达接受状态，有些不能，那么这种情况下算 NFA 接受了这个字符串，还是拒绝了呢？规定：只要存在一条能到达接受状态的路径，就说这个 NFA 接受了这个字符串。

下面给出 NFA 的形式化定义，一个 NFA 由一个五元组 $(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ 定义，其中：

• $Q$：状态集
• $\Sigma$：字符集（字母表）
• $\delta$：转移函数，$\delta:Q\times\Sigma_\epsilon\rightarrow \mathcal{P}(Q)=\\{R|R\subseteq Q\\}$
• $q_0$：初始状态
• $F$：接受状态集

可以看到，NFA 的定义和 DFA 的定义的唯一区别就是转移函数 $\delta$。在 NFA 中，由于存在 $\epsilon$-转移，所以可输入字符集为 $\Sigma_\epsilon=\Sigma\cup\epsilon$。此外，由于每个状态在输入同一个字符的情况下可能存在多个转移状态，因此，$Q\times\Sigma_\epsilon$ 应该映射到 $Q$ 的幂集，即在状态 $q_i$ 下读入一个字符 $w$，存在 $(q_i,w)\rightarrow\\{q_j,q_{j+1},\dots\\}$.

NFA 模型并不对应任何物理机器，其在现实世界并不存在，引入它仅仅是因为它将有助于我们的证明。可是上一节课我们讨论的范畴是 DFA，正则的定义是能被 DFA 识别，难道 NFA 也行？没错，因为 NFA 能被转换成 DFA，所以为了严谨，我们需要先证明对于任何一个 NFA，都存在一个与之等价的 DFA，再继续使用 NFA 证明正则运算的封闭性。

NFA→DFA

📜定理：如果存在 NFA 能识别语言 $A$，则 $A$ 是正则语言。

要证明这个定理，我们只需要证明对于每个 NFA $M$，都存在一个对应的 DFA $M^\prime$，使得当 $M$ 能识别 $A$ 时，$M^\prime$ 也能识别 $A$。换言之，我们需要找到将 NFA 转化成 DFA 的方法。由于 $\epsilon$-转移会增加转化的难度，我们这里只考虑不含 $\epsilon$-转移的 NFA，含 $\epsilon$-转移的情况如果感兴趣可以自行了解（编译原理其实有讲）。先定义 $M=\\{Q,\Sigma,\delta,q_0,F\\}$，$M^{\prime}=\\{Q^{\prime},\Sigma,\delta^{\prime},q_0^{\prime},F^{\prime}\\}$。具体的步骤为：

1. 初始时 $Q^{\prime}=\varnothing$
2. 将 $q_0$ 加入到 $Q^{\prime}$
3. 对于 $Q^\prime$ 中每一个状态， 分别找出每个输入下的转移状态集合，对于每个不存在于 $Q^\prime$ 中的集合，加入 $Q^\prime$。
4. 重复步骤 3，直到覆盖所有转移。
5. $F^{\prime}$ 为 $Q^\prime$ 中所有含有 $F$ 的状态。

详细过程和例子可以看 How to convert NFA to DFA 这篇文章。下面给出 $M^\prime$ 的形式化定义：

• $Q^\prime=\mathcal{P}(Q)$
• $\delta^\prime(R,a)=\\{q|q\in\delta(r,a)\text{ for some }r\in R\\}$($R\in Q^\prime$)
• $q_0^\prime=\\{q_0\\}$
• $F^\prime=\\{R\in Q^\prime|R\cap F\neq\varnothing\\}$

🏹练习：在上述转换过程中，假设 $M$ 中状态的个数为 $n$，$M^\prime$ 中有多少个状态？答案是 $2^n$，从定义也能看出，$Q^\prime$ 是 $Q$ 的幂集，幂集的大小就是 $2^n$。当然在大多数情况下，真实构造出的 $M^\prime$ 并没有那么多状态，因为很多状态并无法到达。

既然知道了 NFA 是可以转化为 DFA 的了，那我们就可以放心地用 NFA 证明封闭性了。

并操作下的封闭性

📜定理：如果 $A_1$ 和 $A_2$ 是正则语言，那么 $A_1\cup A_2$ 也是正则语言。

虽然 $\cup$ 下的封闭性我们在上一节课已经讨论过了，但不妨用 NFA 重新证明一下，见识一下 NFA 的威力。在上节课的证明方法中，我们使用组合状态对的方法来合并两个的 DFA。有了 NFA 之后就不需要这么麻烦了，我们可以直接增加一个初始状态，再让这个初始状态通过两个 $\epsilon$-转移直接连接到另外两个 DFA 的初始状态，最后将原来的初始状态改为非初始状态就大功告成了（如下图所示）。

仔细观察这个 NFA，你会发现它和我们之前用状态对构造出的 DFA 是等价的。

拼接操作下的封闭性

📜定理：如果 $A_1$ 和 $A_2$ 是正则语言，那么 $A_1\circ A_2$ 也是正则语言。

考虑拼接两个 DFA $M_1$ 和 $M_2$，在没有 NFA 的情况下，这个过程无法完成，但现在有了 NFA，这一步就变得相当简单了，只需要把前一个 DFA 的接受状态通过 $\epsilon$-转移连接到后一个 DFA 的初始状态就完成了。

（*注意上图中的 $q_{1,1}$ 不应该保持为接受状态，这里画错了）

∗操作下的封闭性

📜定理：如果 $A$ 是正则语言，那么 $A^*$ 也是正则语言。

$A^*$ 是 $A$ 和自己进行零次或多次拼接，这就要求当自动机 $M^\prime$ 读完一个 $A$ 中的字符串之后，还能从头开始继续读入下一个 $A$ 中的字符串。那思路就很简单了，只需要增加一条从接受状态到原初始状态的 $\epsilon$-转移即可。此外，要注意 $A^*$ 还包括了 $\epsilon$，为了能让 NFA 直接接受 $\epsilon$，我们设置一个新的初始状态（这个初始状态同时也是接受状态），并增加从该初始状态到原初始状态的 $\epsilon$-转移，这样就保证了 NFA 能接受 $\epsilon$。

🏹练习：在上述转换过程中，如果 $M$ 有 $n$ 个状态，那么 $M^\prime$ 有多少状态？答案是 $n+1$，这个很简单，因为我们只是增加了一个初始状态而已。

正则表达式→NFA

通过证明三种正则运算下的封闭性，我们知道了正则语言经过正则运算得到的仍然是正则语言。我们将以上三种证明中用到的构造 FA 的方法称为封闭构造（Closure Construction）。但不要忘记我们的目标是证明 “正则表达式 $\Rightarrow$ FA”，现在让我们回到这个主题。其实要证明这一点，我们只需要找到将正则表达式转换为 NFA 的方法。

我们将正则表达式分为原子（atomic）表达式和复合（composite）表达式。我们首先尝试将原子表达式转换为 NFA，之后再尝试把复合表达式转换为 NFA。由于我们已经证明了三种正则运算的封闭性，因此后者的工作我们已经完成了，无非是将封闭性的证明再写一遍。

原子表达式一共有三种，由于它们的结构很简单，因此可以很容易转化为 NFA：

1. $R=a\text{ for }a\in\Sigma$

   

2. $R=\epsilon$

   

3. $R=\varnothing$

   

这样就完成了原子表达式的 NFA 转化。至于复合表达式的 NFA 转化，只需要重复我们在封闭性证明过程中用到的封闭构造就可以完成了。

由于 NFA 能被转换为 DFA，而能被 DFA 识别的语言是正则语言，可知 NFA 能识别的语言也是正则语言。而现在我们又成功把正则表达式转换成 NFA，就说明正则表达式描述的语言一定也是正则语言，于是得出下述定理：

📜定理：如果 $R$ 是一个正则表达式，并且 $A=L(R)$，那么 $A$ 是正则语言。

以上，我们完成了“正则表达式 $\Rightarrow$ FA”的证明。下一节课，我们将证明“FA $\Rightarrow$ 正则表达式”，完成我们的目标。